概率论与数理统计

预备课：排列组合

组合

加法原理：几种方案

乘法原理：分几步

排列

不重复排列：从n个不同元素中取出m个，不同排列。 $P_n^m$ = $n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$ = $\frac{n!}{(n-m)!}$

全排列：所有情况。 $P_n^n=n(n-1)*...*3*2*1=n!$

可重复排列：从n个不同元素中取出m个，可同排列。 $n*n*n...*n=n^m$

组合：从n个不同元素中取出m个。

$C_n^m = \frac{P_n^m}{m!} = \frac{n(n-1)...(n-m+1)}{m(m-1)*...*2*1} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

$C_n^m = C_n^{n-m}$

$C_n^0 = C_n^n = 1$

引言

几个概念：

确定性（必然）

随机(偶然)

，可能不发生

统计规律：使用大量统计数据，尝试得到其中的规律

事件

随机事件

试验：观测、实验、测量等等

随机实验(使用 E 表示)：

①在相同条件下可重复

②结果不止一个

③无法预测

事件：每种结果。随机事件A/B/C

基本事件：不能(或不必)再分。这是相对于实验目的来讲。

复合事件：由基本事件复合。

必然事件：每次试验必然发生

不可能事件：每次试验必然不发生

样本空间：所有基本事件的集合

样本点：样本空间中的元素(基本事件)

事件间的关系

假设有两个事件 A、B，他们之间的关系有六种

①相互独立，互不相容

②相互重合，完全一样

③A 包含 B (或 B 包含 A )

④A 交 B (或 B 交 A )

⑤并集。A 并 B (B 并 A)

⑥差集。A 与 B的差(B 与 A的差)

此外还有，根据发生的条件，还有两种特殊的关系

①互不相容事件，即A、B不同时发生

②对立事件，即A和B共同组成全集，当其中一个发生的时候，另一个必定不发生

完备事件组：n个事件组成整个集，但是他们之间两两互不相容。这样的事件集合叫做完备事件组。

运算律

交换律

A∪B=B∪A A∩B=B∩A

结合律

(A∪B)∪C=A∪(B∪C)

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

分配律

(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)

对偶律

\overline{A∪B}=\overline{A}∩\overline{B}

事件的概率

上一节研究的是事件，接下来研究事件的概率

假设有事件A，那么概率意味着事件A发生的概率。比如扔硬币求正反，可以假设事件A为正面朝上，事件B为反面朝上；也可以假设事件A为出现正面，事件B为不出现正面。此时，概率可以用P(A)或者P(B)来表示。

尽管"不出现正面"和"反面朝上"这两种描述在现实情况中是一样，但有时事件的设置恰当与否很可能带来不同的结果。

概率的性质

P(Ω)=1 \qquad P(∅)=0

0 ≤ P(A) ≤ 1

古典概型

条件：

① 有限个样本点；② 等可能性

P(A)=\frac{A的有利样本点}{Ω中样本点总数}=\frac{A中包含的基本事件数}{基本事件总数}

性质：

① 非负性 ② 规范性：P(Ω)=1,p(∅)=0 ③ 有限可加：A1...An互不相容，P(A1+...+An) = P(A1)+...P(An)

缺点：

① 有限个结果 ② 结果必须等可能

几何概型

可转化为可视化图形的概率问题

$P(A) = \frac{μ(G)}{μ(Ω)}$

公理化

条件概率

在一个样本空间(Ω)中，有A、B两个事件，P(B)>0。在B已经发生的条件下A发生的概率，即A对B的条件概率，表示为P(A|B)。

以样本点来看有以下公式

P(A|B) = \frac{n_{AB}}{n_B}

以概率来看有以下公式

P(A|B) = \frac{n_{AB}/n}{n_B/n} = \frac{P(AB)}{P(B)}

乘法公式

$P(A|B)=\frac{P(A)}{P(B)}=P(B)P(A|B),P(A)>0,P(B)>0$

$P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)$

伯努利模型

独立实验，所有的结果是独立的，且结果只有两种

定理：

A的概率P， $(0<P<1),\overline{A}:1-P$

n重伯努利中A发生K次，二项概率公式

$P_n(K) = C_n^K(1-P)^{n-k}=C_n^KP^Kq^{n-K},q=1-P$

第二章

随机变量

定义：有样本空间Ω，有X=X(w)，